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만델브로트(Mandelbrot, 1975)는 해안선, 나무의 모습, 강의 모양을 일반화하는 목적으로 프랙탈이라는 개념을 발표했다. 유클리드기하의 곡선은 확대하면 직선의 모양이 되고, 구는 평면에 가까워지는데, 프랙탈의 해안선, 산악, 구름들을 살펴보면, 표면에서의 울퉁불퉁한 것이 세부구조로 들어가면서 반복적으로 나타난다.

프랙탈의 개념은 조각나거나 가지친 자연구조의 배열뿐 아니라 브라운 운동(Brown motion)에서부터 물방울 운동에 이르기까지 구조의 역동적인 성질들을 묘사하는데 사용될 수 있다. 프랙탈은 과학자들이 자연현상을 측정하는데 사용할 수 있는데, 예를 들면 전기를 전도하는 방식들을 연구하는 데 사용할 수 있다. 그러나 수학 프랙탈은 자연적인 물체에서는 실제로 발견할 수 없는 성질들을 가지고 있다. 무한히 되풀이해서 확대되면서 똑같이 보이는 구조는 실제로 없다. 그럼에도 불구하고 프랙탈 모델은 적어도 한정된 범위에서 실제와 비슷한 접근방법을 제공해 준다.

프랙탈은 Yourk 와 Lee의 카오스 이론이 내포된다. 카오스 계의 운동이 로렌쯔(Lorenz)끌개의 한쪽 날개 위을 돌다가 불규칙적으로 다른 쪽 날개로 넘어가는 것을 반복하는 형태로 나타나는데, 똑같은 길을 반복하지 않으면서 일정한 형태(나비 날개 모양)을 유지한다. 이 기이한 끌개(strange attractor)는 무한히 많은 층으로 이루어졌으나 자체유사성을 지닌, 매우 기묘한 기하학적구조를 가지고 있으며 이 위에서 카오스 운동이 일어나게 된다.

이러한 점에서 동적 운동으로서의 카오스를 이해하기 위하여 공간적 기하학적 구조를 가지고 있으며 카오스 운동이 일어나게 된다. 이러한 점에서 동적 운동으로서의 카오스를 이해하기 위하여 공간적 기하학적 프랙탈 연구가 필요하다. 끌개의 프랙탈 구조와 카오스 운동은 마치 밀가루 반죽과 같이 상태공간을 늘리고 접는 과정의 무한한 반복에 의해 만들어진다. 끊임없는 팽창과 접힘 과정에 의해 초기의 미세한 차이가 크게 증폭되는 현상을 초기조건에 대한 민감한 의존성이라고 한다. 즉 북경에서 나비 한 마리의 날개짓의 팔랑거림이 계속 증폭되어 오랜 시간이 지난 후 지구 반대쪽 뉴욕에서 폭풍우를 불러올 수 있다는 것이다. 이를 나비효과라 한다.

나비효과는 기상모델에서의 비예측성을 낳게 되며 장기예보가 근본적으로 불가능하다는 것을 가르쳐 준다. 컴퓨터를 통하여 로렌쯔의 기상 모델뿐 아니라 다양한 자연현상에서 여러 가지 기묘한 기하학적 구조의 기이한 끌개들이 발견되었다. 즉, 프랙탈 이론은 카오스 속의 변화하지 않는 부분만 착안하여 법칙으로 끌어낸 것이다. 프랙탈은 미분이 가능하여 정규적 모양을 지닌 유클리드 기하와는 달리, 비정규적 구조를 가진다. 이러한 구조를 확대하면 전체의 모습과 비슷한 구조가 다시 나타난다. 프랙탈이란 밖으로 열린 순서적으로 된 패턴을 나타내는 도형으로, 확대해 가면 반복적으로 매우 닮은 세부적 구조가 보이는 특징을 가진다.

1970년대에 요크와 이천암의 수학논문에서 처음으로 '카오스'라는 단어가 사용되었다. 1975년 만델브로트(Mandelbrot)가 '프랙탈한 대상 모양, 우연 , 차원'이라는 책을 출판하였다. 이것은 각각 수학과 과학 세계에 충격을 주었다.

프랙탈은 70년대 말부터 물리학자, 지리학자, 건축, 미술, 철학 등의 분야에서 주목을 받게 되었다. 프랙탈에 대한 관심을 갖게 된 것은 컴퓨터의 발달과 더불어 프랙탈 도형을 많은 사람들이 즐길 수 있게 된 것과, 물리학과 관측기술의 진보가 자연 속에 있는 프랙탈한 모양을 만드는데 성공한 데 원인이 있다. 만델브로트는 처음으로 프랙탈에 대해 많은 연구를 시작한 사람으로 자신이 생각한 형상, 차원 및 기하학에 대한 이름을 생각하고, 라틴어의 '부서지다'라는 뜻의 동사 'frangere'에서 파생한 형용사 'fractus'를 찾았다. fractus란 '온전한 것이 아닌', '어중간한', 뜻으로 어원이 같은 영어 단어 'fracture'와 'fraction'의 어감도 적절한 것으로 생각했다. 만델브로트는 영어이면서 불어이며, 명사이자 형용사인 'fractal'을 만들었다.

80년대에 프랙탈이론은 심미적인 기하학 이론으로 연구되어 왔을 뿐 아니라 매개변수의 변화에 정의되는 동력계(dynamics)연구에 있어서 카오스의 본질을 파악하는데 기초를 이루게 된다. 순수수학에서의 단순한 개념으로 출발한 프랙탈은 현대과학의 많은 문제점 기술에 있어서 중요한 위치를 차지하게 되었고, 카오스 문제를 이해하는 데 새로운 혁신적인 시각을 제공하게 된다.

카오스 연구에 빛을 비추기 시작한 포앙카레는 18세기말부터 19세기초에 걸쳐 활약한 프랑스 수학자이다. 그는 뉴턴의 세계관이라고 할 수 있는 태양계에서 카오스를 발견한다. 그러나 그는 결정론적 세계관을 가졌고, 실재의 천문현상은 뉴턴의 법칙을 잘 만족시키고 있었기에 포앙카레는 결과에 대해 이상하게 생각했다.

그 후에 로렌쯔는 2차 대전 중 기상 보관으로 일하면서 기후에는 어떤 법칙이 존재할 것이라 생각했다. 하루 이틀 후의 일기예보조차 불확실하고 1주일 후의 상황은 전혀 예측할 수 없는 이유가 나비효과 때문인 것을 알았다. 1963년 대류에 관한 방정식을 분석해서 중요한 요소만 남겨 단순한 형태로 만들었는데 비선형요소를 포함하고 있었다. 로렌쯔는 방정식을 풀어가던 중 그 속에 포함되어 있는 정교한 기하학적 구조를 발견하였다. 똑같은 자리로 되돌아오지는 않지만 거의 비슷하게 반복되는 로렌쯔 끌개의 모습이었다. 그러나 포앙카레처럼 주변 과학자들의 관심을 끌지는 못했다.

1960 년대에 몇몇 과학자들은 카오스를 연구하는데 기초가 될 만한 것을 마련했는데, 스테판 스메일(Stephen Smale)이 대표적이다. 그는 동력학계에 위상수학을 결합시키는 연구를 했다.

요크는 로렌쯔가 주장한 '초기 조건의 민강섬'은 일상생활의 도처에 존재한다고 생각했다. 요크는 생물학자인 로버트 메이(Robert May)와의 공동연구에서 카오스계에서 나타난 질서를 찾았다.

만델브로트는 자연의 경향성을 밝히려 했고, 사회의 복잡한 무질서 속에서 일정한 질서가 있음을 찾으려 했다. 이와 같은 질서는 뉴턴역학에서 보여지는 단순 명쾌한 질서는 아니었다. 그의 업적은 자연이 가지고 있는 자체 유사성에 대한 연구에서 절정에 이르게 된다. 카오스는 현재 비선형 동력학 이론과 실험도구로서의 컴퓨터 발전과 맞물려 성장하고 있다. 또한 카오스는 수학, 물리학, 생물학, 화학, 지질학, 공학, 생태학, 사회학, 경제학, 과학 철학 등 과학 및 사회 전반에 걸쳐 근본적인 사고의 변화를 가져오고 있으며, 현재공학, 산업에서의 응용이 매우 활발하다.